Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.
Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.
Основные моменты
Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.
Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.
В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.
В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.
Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108
Решение: Преобразуем исходное уравнение.
Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.
В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.
Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.
Геометрический смысл
Для лучшего понимания обратимся к картинке:
На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.
Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.
Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.
Угловой коэффициент касательной
Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.
Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.
Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде
y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1
Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.
Определение 1
Угол наклона прямой к оси О х, расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.
Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π) .
Определение 2
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Решение
Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = - 3 .
Ответ: k = - 3 .
Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k < 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Пример 2
Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .
Решение
Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Ответ: α = a r c t g 3 .
Пример 3
Найти угол наклона прямой к оси О х, если угловой коэффициент = - 1 3 .
Решение
Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х. Отсюда k = - 1 3 < 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .
Ответ: 5 π 6 .
Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у.
Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M 1 (x 1 , y 1) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.
Пример 4
Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x - 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 (3 , 0) и M 2 (2 , - 2) заданной прямой.
Решение
Необходимо подставить координаты точки M 1 (3 , 0) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.
Если подставим координаты точки M 2 (2 , - 2) , тогда получим неверное равенство вида - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.
Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.
Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 (0 , b) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х, где k = t g α .
Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x - 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , - 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х. Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 (x 1 , y 1) .
Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y - y 1 = k · (x - x 1) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 (x 1 , y 1) .
Пример 5
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами (4 , - 1) , с угловым коэффициентом равным - 2 .
Решение
По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = - 1 , k = - 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Ответ: y = - 2 x + 7 .
Пример 6
Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами (3 , 5) , параллельную прямой y = 2 x - 2 .
Решение
По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x - 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:
y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 · (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Ответ: y = 2 x - 1 .
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.
Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x - x 1 a x = y - y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Пример 7
Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = - 3 x + 12 к каноническому виду.
Решение
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Ответ: x 1 = y - 12 - 3 .
Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.
Пример 8
Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x - 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = (- 1 , 7) нормальным вектором прямой?
Решение
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , - 1 , отсюда 1 7 x - y - 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = (- 1 , 7) коллинеарен вектору n → = 1 7 , - 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = - 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = - 1 , 7 - нормальный вектор прямой 1 7 x - y - 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x - 2 .
Ответ: Является
Решим задачу обратную данной.
Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется - A B .
Пример 9
Задано уравнение прямой вида 2 3 x - 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.
Решение
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .
Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x - x 1 a x = y - y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b .
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Пример 10
Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y - 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.
Решение.
Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на - 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Ответ: y = 3 2 x - 3 .
Пример 11
Уравнение прямой вида x - 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.
Решение
Необходимо выражение x - 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:
5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Ответ: y = 5 2 x - 6 .
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Пример 12
Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = - 1 + 2 · λ .
Решение
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .
Ответ: k = 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Задачи на нахождение производной касательной включены в ЕГЭ по математике и встречаются там ежегодно. При этом статистика последних лет показывает, что подобные задания вызывают у выпускников определенные затруднения. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему непременно стоит научиться справляться с задачами из раздела «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания», подготовленными специалистами образовательного портала «Школково». Разобравшись с алгоритмом их решения, ученик сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.
Основные моменты
Приступая к решению задач ЕГЭ по данной теме, необходимо вспомнить основное определение: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Необходимо освежить в памяти и другое важное определение. Оно звучит следующим образом: угловой коэффициент равняется тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.
Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении задач на нахождение производной в ЕГЭ необходимо помнить, что угол, который образует касательная, может быть меньше, больше 90 градусов или равняться нулю.
Как подготовиться к экзамену?
Для того, чтобы задания в ЕГЭ на тему «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания» давались вам достаточно легко, воспользуйтесь при подготовке к выпускному испытанию информацией по этому разделу на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете необходимый теоретический материал, собранный и понятно изложенный нашими специалистами, а также сможете попрактиковаться в выполнении упражнений.
Для каждого задания, например, задач на тему «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут выполнять упражнения различного уровня сложности в режиме онлайн. В случае необходимости задачу можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить ее решение с преподавателем.
В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойства, характеризующее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.
Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей.
Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величин, характеризующих положение прямой на плоскости.
Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой к оси может быть выбран не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ).
Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на не меняет его тангенса).
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).