Было выявлено, что на заряд q , находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа А на замкнутом пути L равняется нулю:
A = ∮ L F ¯ d r ¯ = q ∮ L E ¯ d r ¯ = 0 , где r - это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.
Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру L .
Теорема о циркуляции
Теорема 1Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Доказательство 1
Для ее доказательства основываются на работе поля по перемещению заряда, не зависящую от ее траектории. L 1 и L 2 обозначают в качестве различных путей между точками А и В. При замене их местами получим L = L 1 + L 2 . Теорема доказана
Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.
Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.
Необходимо выделить произвольную часть поверхности S , которая опирается на контур L .
Рисунок 1
Определение 1
По формуле Стокса
интеграл от ротора вектора напряженности r o t E → , взятый по поверхности
S , равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.
Значение d S → = d S · n → , n → является единичным вектором, перпендикулярным участку d S . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором r o t E → . Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2 . Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.
Рисунок 2
Для вычисления ротора применяют формулы:
Если использовать уравнение (6) , то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.
При выполнении условия (8) для любой поверхности S , упирающейся на контур L , возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.
Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2 . На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q . Вся система находится в однородном поле с напряженностью E . Если r o t E → ≠ 0 , то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.
Определение 2
Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:
Пример 1
Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?
Рисунок 3
Решение
По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:
∮ L E → d s → ≠ 0 .
Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр В м или в ньютонах на кулон Н К) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.
Пример 2
Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.
Решение
Если рассмотреть границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε 2 и ε 1 , изображенных на рисунке 4 , то видно, что ось Х проходит через середины сторон b . На границе выбирается прямоугольный контур с параметрами длины (а) и ширины (b) .
Рисунок 4
Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:
∮ L E → d s → = 0 .
Если контур имеет небольшие размеры, тогда циркуляция вектора напряженности, согласно формуле ∮ L E → d s → = 0 , представляется в виде:
∮ L E → d s → = E 1 x a - E 2 x a + E b 2 b = 0 .
E b - это среднее значение E → на участках, перпендикулярных к границе раздела.
Из формулы ∮ L E → d s → = E 1 x a - E 2 x a + E b 2 b = 0 следует:
E 2 x - E 1 x a = E b 2 b .
Когда b → 0 , тогда
Выполнение выражения E 2 x = E 1 x возможно при произвольном выборе оси Х, которая располагается на границе раздела диэлектриков. Можно представить вектор напряженности в виде двух: тангенциальной E τ и нормальной E n:
E 1 → = E 1 n → + E 1 τ → , E 2 → = E 2 n → + E 2 τ → .
Отсюда следует, что
E τ 1 = E τ 2 , где E τ i является проекцией вектора напряженности на орт τ , который направлен вдоль границы раздела диэлектриков.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Рассмотрим некоторые следствия из установленного принципа.
Если - произвольное электростатическое поле, - направленный отрезок контура , то работу электростатического поля по бесконечно медленному перемещению положительного единичного точечного заряда можно описать с помощью криволинейного интеграла
. (1)
Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называют скалярную величину
Здесь угол - угол между направлением вектора и направленным элементарным отрезком контура , - проекция вектора на направление , величина является модулем элементарного направленного отрезка контура . В определение циркуляции обязательно входит указание направления обхода контура. Очевидно, что изменение направления обхода приводит к смене алгебраического знака циркуляции. Заметим, что формальное определение понятия «циркуляция векторного поля» (2) не связано с физическим перемещением заряда по траектории: в нестационарном случае величина циркуляции рассчитывается для фиксированного момента времени, одного и того же для всех точек контура. При описании реального движения заряда пришлось бы учитывать, что вместе с изменением положения заряда изменялось бы и время наблюдения. В этой связи полезно помнить высказывание нобелевского лауреата по физике Р. Фейнмана о том, что абстрактное математическое представление зачастую оказывается и самым полным и самым правильным и самым содержательным.
Специального общепринятого символьного обозначения для циркуляции векторного поля не существует, а содержание понятия становится ясным из рассмотрения выражения
, (3)
где - длина контура . Теперь можно сформулировать интуитивное определение циркуляции векторного поля по замкнутому контуру конечной длины:
В силу установленного выше принципа потенциальности электростатического поля выражение (2) должно обращаться в нуль для любого замкнутого контура :
Условие (4) играет важную роль в электростатике: в реально существующем электростатическом поле обязательно выполнено интегральное условие потенциальности (4).
Обратим внимание читателя на то, что из условия (4) следует важный физический результат: силовые линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми и не могут пересекаться, в противном случае условие (4) было бы несправедливо. Силовые линии или «замыкаются» на электрический заряд, или уходят «на бесконечность». В связи со сказанным следует отметить, что выбранное положительное направление вдоль силовой линии не может измениться на противоположное ни в одной точке пространства, через которую проходит рассматриваемая силовая линия.
Рассмотрим перемещение единичного положительного сосредоточенного электрического заряда из произвольной точки пространства А в произвольную точку В по двум произвольным траекториям и (рис.1). Справедливо утверждение, что
Поле Е обладает двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформировать его законы. Эти свойства - теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора Е - связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: циркуляцией и потоком . Пользуясь только этими двумя понятиями можно описать все законы. Рассмотрим эти свойства.
Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а определяется только положением начальной и конечной точек перемещения. Именно таким свойством обладает электростатическое поле - поле, образованное системой неподвижных точечных зарядов.
1. Рассчитаем работу при перемещении точечного заряда в электростатическом поле.
Пусть электростатическое поле создано зарядом + Q. Будем перемещать другой точечный заряд q (q – пробный положительный точечный заряд) в электростатическом поле, созданном зарядом (+Q) из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории (смотри рис. 6.1.). Работу будет совершать сила F К – кулоновская сила, действующая на заряд q . Работа силыF К на элементарном перемещении dl равна:
Рис.6.1.Работа перемещения точечного заряда в электростатическом поле
Для нахождения работы перемещения заряда q из точки 1 в точку 2 проинтегрируем (6.2) по переменной r .
Работа перенесения заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек перемещения, следовательно , электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а кулоновские силы – консервативными.
|
| (6.3 ) |
.
Покажем, что работа сил ЭС поля по любому замкнутому пути равна 0 .
Пусть перемещается положительный единичный заряд q из точки 1 в неё же по замкнутому пути - 1а2b1- замкнутый контур Г (рис.6.2) . Согласно соотношению (6.3) работа будет равна 0, т.к. r 1 = r 2 . Но, с другой стороны величину этой работы можем записать, используя связь между кулоновской силой и вектором напряженности электростатического поля (q ) в виде:
Но, модуль вектора напряженности точечного заряда равен kQ/r 2 =| |, следовательно элементарную работу сил электростатического поля можно представить в виде выражения:
Интеграл r dr = - называют циркуляцией вектора Е .
Теорема о циркуляции вектора Е: Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру тождественно равна нулю.
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути перехода, а зависит только от положения начальной и конечной точек перемещения, т.е. электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы консервативными. В случае, когда заряд q 0 перемещается в поле системы зарядов, то на движущийся заряд по принципу суперпозиций действует сила и работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ соответствующих сил:
, (7.11)
где r i 1 и r i 2 расстояния от заряда q i до начальной и конечной точки перемещение заряда q 0 . Из формулы (7.10) также следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле по замкнутому пути, равна нулю, т.е. . Если перемещённый заряд принять за единицу, то (7.11) можно записать:
, или . (7.12)
Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль замкнутого контура .
Из теоремы о циркуляции вектора напряженности можно сделать несколько важных выводов: 1) линии напряженности поля не могут быть замкнутыми; 2) существование электростатического поля вида, показанного на рис. 7.5 невозможно.
| 
Рис.7.5
|
|||
| Рис.7.4 |
В самом деле, если применить к этому полю теорему о циркуляции вектора по замкнутому контуру, показанному на рис. 7.6 пунктиром, то она была бы отлична от нуля, что противоречит теореме.
Вопрос №42
Потенциал электростатического поля. q 2 в поле заряда q 1 можно записать в виде
. (7.16)
Wp const r → ∞, Wp = 0 . Следовательно,
. (7.17)
W/q 2 q 2 .
q равен
Если поле создаётся системой зарядов q 1 , q 2 , …q n , то для потенциальной энергии заряда q пр в поле системы зарядов получим
. (7.21)
С учетом (7.19), потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности
(7.22)
7.7 Связь между потенциалом j и напряжённостью электрического поля . Дифференциальную формулу связи и φ, справедливую для малой окрестности какой-либо точки поля, можно вывести из выражений для элементарной работы . Откуда
где E l – проекция вектора на направление в пространстве.
В более общем векторном виде вектор равен 
, где
– единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей х, у, z Последнее уравнение можно записать в виде
Или Ñj , (7.19)
т.е. напряжённость поля равна градиенту потенциала и направлена в сторону убывания потенциала .
Вопрос №43
7.8 проводники в электрическом поле. Если проводнику сообщить некоторый заряд или его поместить во внешнее электростатическое поле, то в обоих случаях на заряды проводника будет действовать электростатическое поле и они будут перемещаться внутри проводника. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока внутри проводника поле не будет равно нулю и потенциал внутри проводника должен быть постоянным (j=const). Напряженность на поверхности проводника в каждой точке должна быть направлена по нормали. В противном случае касательные составляющие привели бы заряды, находящиеся на поверхности в движение, и равновесие зарядов было бы нарушено. Применив теорему Гаусса, можно определить напряжённость поля непосредственно у поверхности проводника
,
где e – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник, s – поверхностная плотность заряда.
7.9 Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов в связи с чем его можно рассматривать как уединенный проводник. Из опыта следует, что между зарядом и потенциалом существует зависимость q = Сj.
Величину называют электроемкостью или просто емкостью уединенного проводника . Емкость зависит от формы и размеров проводника и не зависит от материала, агрегатного состояния и от размеров полостей внутри проводника. Емкость не зависит от заряда и потенциала проводника.
7.10 Электроемкость конденсаторов. Система проводников, близко расположенных друг другу и заряженных одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами называется конденсатором, а проводники – его обкладками. Емкость конденсатора определяется
где j 1 - j 2 –разность потенциалов между обкладками, q – заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке конденсатора. По форме обкладок конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические:
1) электроёмкость плоского конденсатора
2) электроёмкость цилиндрического конденсатора
, (7.23)
где – длина конденсатора, R 1 и R 2 – радиусы внутренней и наружной цилиндрических обкладок.
3) Электроемкость сферического конденсатора
, (7.24)
где R 1 и R 2 – радиусы внутренней и наружной обкладок.
Вопрос №44
7.11 Энергия заряженного конденсатора. Процесс зарядки конденсатора можно представить как последовательное перемещение бесконечно малых порций заряда dq с одной пластины на другую, в результате чего одна из пластин будет заряжаться положительно, а другая – отрицательно и между ними будет возникать постепенно возрастающая разность потенциалов U = q / С . При этом энергия конденсатора равна
Здесь Е – напряженность электрического поля внутри конденсатора, a V= S d –его объем. Отсюда энергия единицы объема, или объемная плотность энергии электрического поля
В изотропном диэлектрике направления векторов и совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид
Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.
7.6 Потенциал электростатического поля. Поскольку работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, то на основании формулы (7.13) выражение для потенциальной энергии заряда q 2 в поле заряда q 1 можно записать в виде
. (7.16)
Как видно из выражения (7.16), Wp определяется с точностью до постоянной величины. В данном случае для электрического поля точечного заряда принято выбирать const так, чтобы на бесконечно большом расстоянии между зарядами их взаимная потенциальная энергия обращалась в нуль: r → ∞, Wp = 0 . Следовательно,
.
Из формулы (7.17) следует, что отношение W/q 2 для данной точки поля не зависит от величины заряда q 2 . Поэтому это отношение может служить энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом поля,и равна отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда
Из выражений (7.17) и (7.18) следует, что потенциал поля точечного заряда q равен
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точке перемещения
Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля.
Из раздела динамики известно, что любое тело (точка), находясь в потенциальном поле, обладает запасом потенциальной энергии W п, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил сопровождается убылью потенциальной энергии A=W п1 -W п2 . Используя формулу работы силы электростатического поля по перемещению заряда, получим может служить характеристикой поля и называется потенциалом электростатического поля j . Потенциал поля j - скалярная физическая величина, энергетическая характеристика поля, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку .
Разность потенциалов двух точек поля определяется работой сил поляпри перемещении единичного
потенциал точки поля численно равен работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность .
3) электр. Диполь - идеализированная система, служащая для приближённого описания статического поля или распространения электромагнитных волн вдали от источника (особенно - от источника с нулевым суммарно, но пространственно разделенным зарядом).
Полярные – это диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов разделены даже в отсутсвие поле, т.е. молекула является диполем. Поляризация : во внешнемэлектр. Поле молекулы ориентируются вдоль векора напряженности внешнего поля Ео (при включении поля молекулы поворачиваются вдоль силовых линий поля)
Неполярные- диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов в отсутствие поля совпадают. Поляризация : во внешнем электр.поле в результате деформации молекул возникают диполи, ориентированные вдоль вектора напряженности внешнего поля Ео . (при включении поля молекулы поляризуются)
В электрическом поле диполи подрешеток деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю и укорачиваются, если оси направлены против поля. Такого рода поляризация называетсяионной . Степень ионной поляризации зависит от свойств диэлектрика и от напряженности поля .
Поляризация- явление возникновения зарядов на поверхности диэлектрика, поле которых частично компенсирует внешнее электр.поле
Величину компенсации описывают с помощью диэлектрической проницаемости среды, которая показывает, во сколько раз эта среда уменьшает электр.поле:
Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
| . |
Первое правило Кирхгофа : алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю: .
Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выделенному в разветвленной цепи: алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления, включая и внутренние, на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре .
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.
Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю . Это есть условие потенциальности поля.